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FächerMathematik
Analysis
pq-Formel
Inhaltsübersicht
Mit der pq-Formel kannst du Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen.
Erklärung
Eine quadratische Funktion hat die normierte Form:
Hierbei sind
Möchtest du die Nullstellen dieser Funktion bestimmen, musst du sie
und nach
Mit Hilfe der pq-Formel kannst du direkt die Lösungen ausrechnen.
Nullstellen und Diskriminante
Eine quadratische Funktion kann
Mit der pq-Formel lässt sich herausfinden, wieviele Nullstellen eine quadratische Funktion besitzt und wie du sie berechnest.
Der Term unter der Wurzel
heißt Diskriminante.
Je nachdem, ob die Diskriminante größer, gleich oder kleiner Null ist, hat die Funktion
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2 Nullstellen | 1 Nullstelle | 0 Nullstellen |
Umformung zur normierten Form
Hat eine quadratische Funktion die Form
wobei
kannst du sie normieren.
Du teilst auf beiden Seiten der Gleichung durch
Jetzt kannst du die beiden Brüche umbenennen.
Du erhältst die Form:
Beispiele
pq-Formel - zwei Lösungen
Bestimme die Nullstellen der Funktion
Setze die Funktion gleich Null.
Die quadratische Funktion ist bereits in der normierten Form (Vorfaktor vorm quadratischen Term ist 1). Es sind keine Umformungen notwendig.
Bestimme die Koeffizienten
und setze sie in die pq-Formel ein.
Das sieht dann so aus:
Du erhältst:
Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.
Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist:
Es gibt also zwei Lösungen:
Die Lösungsmenge lautet:
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pq-Formel - eine Lösung
Bestimme die Nullstellen der Funktion
Setze die Funktion gleich Null.
Die quadratische Funktion ist nicht normiert. Teile also durch den Vorfaktor
Bestimme die Koeffizienten
und setze sie in die pq-Formel ein.
Das sieht dann so aus:
Du erhältst:
Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.
Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist:
Es gibt also eine Lösung.
Die Lösungsmenge lautet:
pq-Formel - keine Lösung
Bestimme die Nullstellen der Funktion
Setze die Funktion gleich Null.
Die quadratische Funktion ist nicht normiert. Multipliziere mit
Bestimme die Koeffizienten
und setze sie in die pq-Formel ein.
Das sieht dann so aus:
Du erhältst:
Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.
Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist
Es gibt also keine reelle Lösung.
Die Lösungsmenge ist leer und lautet:
Mit der pq-Formel kannst du Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen.
x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−2p±(2p)2−q
Eine quadratische Funktion hat die normierte Form
f(x) = x^2 + px+qf(x)=x2+px+qf(x) = x^2 + px+qf(x)=x2+px+q
Hierbei sind pppp und qqqq irgendwelche reelle Zahlen.
Möchtest du die Nullstellen dieser Funktion bestimmen, musst du sie 0000 setzen
x^2+px+q=0x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0
und nach xxxx auflösen.
Mit Hilfe der pq-Formel kannst du direkt die Lösungen ausrechnen.
x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−2p±(2p)2−q
Nullstellen und Diskriminante
Eine quadratische Funktion kann 0, 10,10, 10,1 oder 2222 Nullstellen haben.
Mit der pq-Formel lässt sich herausfinden, wieviele Nullstellen eine quadratische Funktion besitzt und wie du sie berechnest.
Der Term unter der Wurzel
\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q(p2)2−q\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q(2p)2−q
heißt Diskriminante.
Je nachdem, ob die Diskriminante größer, gleich oder kleiner Null ist, hat die Funktion 2, 12,12, 12,1 oder 0000 Nullstellen.
x^2 - 1x2−1x^2 - 1x2−1
x^2x2x^2x2
x^2+1x2+1x^2+1x2+1
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2 Nullstellen
1 Nullstelle
0 Nullstellen
\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q > 0(p2)2−q>0\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q > 0(2p)2−q>0
\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q =0(p2)2−q=0\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q =0(2p)2−q=0
\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q <0(p2)2−q<0\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q <0(2p)2−q<0
Umformung zur normierten Form
Hat eine quadratische Funktion die Form
ax^2+bx+c = 0ax2+bx+c=0ax^2+bx+c = 0ax2+bx+c=0
wobei a, b, ca,b,ca, b, ca,b,c irgendwelche reelle Zahlen sind und
a \neq 0a≠0a \neq 0a=0
kannst du sie normieren.
Du teilst auf beiden Seiten der Gleichung durch aaaa und erhältst:
\dfrac{a}{a}\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x+\dfrac{c}{a} =\dfrac{0}{a}aa⋅x2+ba⋅x+ca=0a\dfrac{a}{a}\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x+\dfrac{c}{a} =\dfrac{0}{a}aa⋅x2+ab⋅x+ac=a01\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x + \dfrac{c}{a} = 01⋅x2+ba⋅x+ca=01\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x + \dfrac{c}{a} = 01⋅x2+ab⋅x+ac=0
Jetzt kannst du die beiden Brüche umbenennen.
p:= \dfrac{b}{a} \space\space\space\space\space\space q:= \dfrac{c}{a}p:=baq:=cap:= \dfrac{b}{a} \space\space\space\space\space\space q:= \dfrac{c}{a}p:=abq:=ac
Du erhältst die Form:
x^2+px+q=0x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0
pq-Formel - zwei Lösungen
Bestimme die Nullstellen der Funktion
f(x) = x^2+5x+6f(x)=x2+5x+6f(x) = x^2+5x+6f(x)=x2+5x+6
Setze die Funktion gleich Null.
x^2+5x+6 = 0x2+5x+6=0x^2+5x+6 = 0x2+5x+6=0
Die quadratische Funktion ist bereits in der normierten Form (Vorfaktor vorm quadratischen Term ist 1). Es sind keine Umformungen notwendig.
Bestimme die Koeffizienten
p = 5p=5p = 5p=5q=6q=6q=6q=6
und setze sie in die pq-Formel ein.
x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−2p±(2p)2−q
Das sieht dann so aus:
Start
Du erhältst:
x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-6}x1,2=−52±(52)2−6x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-6}x1,2=−25±(25)2−6
Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.
x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - \dfrac{24}{4}} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{sc_color_1}{\dfrac{1}{4}}}x1,2=−52±254−244=−52±14x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - \dfrac{24}{4}} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{#7F7706}{\dfrac{1}{4}}}x1,2=−25±425−424=−25±41
Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist:
\textcolor{sc_color_1}{\frac{1}{4}}>014>0\textcolor{#7F7706}{\frac{1}{4}}>041>0
Es gibt also zwei Lösungen:
x_{1} = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{-4}{2} = \underline{\underline{-2}}x1=−52+12=−42=−2‾‾x_{1} = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{-4}{2} = \underline{\underline{-2}}x1=−25+21=2−4=−2x_2 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{-6}{2} = \underline{\underline{-3}}x2=−52−12=−62=−3‾‾x_2 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{-6}{2} = \underline{\underline{-3}}x2=−25−21=2−6=−3
Die Lösungsmenge lautet:
L=\{-2;-3\}L={−2;−3}L=\{-2;-3\}L={−2;−3}
pq-Formel - eine Lösung
Bestimme die Nullstellen der Funktion
f(x) = 4x^2-20x+25f(x)=4x2−20x+25f(x) = 4x^2-20x+25f(x)=4x2−20x+25
Setze die Funktion gleich Null.
4x^2-20x+25 = 04x2−20x+25=04x^2-20x+25 = 04x2−20x+25=0
Die quadratische Funktion ist nicht normiert. Teile also durch den Vorfaktor
4x^2 - 20x+25 = 0 \space\space\space | :44x2−20x+25=0∣:44x^2 - 20x+25 = 0 \space\space\space | :44x2−20x+25=0∣:4x^2 -5x+6,25 = 0x2−5x+6,25=0x^2 -5x+6,25 = 0x2−5x+6,25=0
Bestimme die Koeffizienten
p = (-5)p=(−5)p = (-5)p=(−5)q=6,25q=6,25q=6,25q=6,25
und setze sie in die pq-Formel ein.
x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−2p±(2p)2−q
Das sieht dann so aus:
Start
Du erhältst:
x_{1,2} = -\dfrac{(-5)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-5)}{2}\right)^2-6,25}x1,2=−(−5)2±((−5)2)2−6,25x_{1,2} = -\dfrac{(-5)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-5)}{2}\right)^2-6,25}x1,2=−2(−5)±(2(−5))2−6,25
Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.
x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - 6,25}x1,2=52±254−6,25x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - 6,25}x1,2=25±425−6,25x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{6,25 - 6,25} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{sc_color_1}{0}}x1,2=52±6,25−6,25=52±0x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{6,25 - 6,25} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{#7F7706}{0}}x1,2=25±6,25−6,25=25±0
Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist:
\textcolor{sc_color_1}{0}0\textcolor{#7F7706}{0}0
Es gibt also eine Lösung.
x = \dfrac{5}{2} + 0 = \underline{\underline{\dfrac{5}{2}}}x=52+0=52‾‾x = \dfrac{5}{2} + 0 = \underline{\underline{\dfrac{5}{2}}}x=25+0=25
Die Lösungsmenge lautet:
\underline{\underline{L=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}}L={52}‾‾\underline{\underline{L=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}}L={25}
pq-Formel - keine Lösung
Bestimme die Nullstellen der Funktion
f(x) = \frac{1}{2}x^2-3x+5f(x)=12x2−3x+5f(x) = \frac{1}{2}x^2-3x+5f(x)=21x2−3x+5
Setze die Funktion gleich Null.
\frac{1}{2}x^2-3x+5 = 012x2−3x+5=0\frac{1}{2}x^2-3x+5 = 021x2−3x+5=0
Die quadratische Funktion ist nicht normiert. Multipliziere mit 2222.
\frac{1}{2}x^2-3x+5 = \space\space\space |\cdot 212x2−3x+5=∣⋅2\frac{1}{2}x^2-3x+5 = \space\space\space |\cdot 221x2−3x+5=∣⋅2x^2-6x+10=0x2−6x+10=0x^2-6x+10=0x2−6x+10=0
Bestimme die Koeffizienten
p = (-6)p=(−6)p = (-6)p=(−6)q=10q=10q=10q=10
und setze sie in die pq-Formel ein.
x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−2p±(2p)2−q
Das sieht dann so aus:
Start
Du erhältst:
x_{1,2} = -\dfrac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-6)}{2}\right)^2-10}x1,2=−(−6)2±((−6)2)2−10x_{1,2} = -\dfrac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-6)}{2}\right)^2-10}x1,2=−2(−6)±(2(−6))2−10
Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.
\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\dfrac{36}{4} - 10} \\[3mm] &= 3\pm \sqrt{9-10} \\[3mm] &= 3\pm\sqrt{\textcolor{sc_color_1}{-1}} \end{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\dfrac{36}{4} - 10} \\[3mm] &= 3\pm \sqrt{9-10} \\[3mm] &= 3\pm\sqrt{\textcolor{#7F7706}{-1}} \end{aligned}x1,2=26±436−10=3±9−10=3±−1
Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist
\textcolor{sc_color_1}{-1}<0−1<0\textcolor{#7F7706}{-1}<0−1<0
Es gibt also keine reelle Lösung.
Die Lösungsmenge ist leer und lautet:
\underline{\underline{L = \emptyset}}L=∅‾‾\underline{\underline{L = \emptyset}}L=∅
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Natürliche Exponentialfunktion
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